Олимпиадная задача по планиметрии: радиус описанной окружности треугольника BMK

Обозначим внешнюю окружность через, внутреннюю, описанную окружность треугольника BKM – 1, их радиусы – R , r и r1соответственно. Пусть отрезок BN пересекает окружностьв точке P .

При гомотетии с центром в точке N и коэффициентом окружностьпереходит в окружность. Точка P при этом переходит в точку B , а касательная AB к окружности, проведённая в точке K , – в касательную l к окружности, параллелельную AB . Поскольку касательная l параллельна хорде AB , то точка касания – середина дуги AB , не содержащей точку N , т.е. точка M . Значит, точки N , K и M лежат на одной прямой.

Пусть BMN = α . Из теоремы синусов следует, что

= = .

Поскольку при рассматриваемой гомотетии отрезок NP переходит в отрезок NB , то = . По теореме о касательной и секущей BK2 = BP· BN . Значит,

()2 = ()2= = = = = 1- = 1-.

Отсюда следует, что отношение не зависит от выбора точки K , а значит, и r1не зависит от выбора точки K .

Ответ задачи отсутствует