Олимпиадная задача по планиметрии: касательная к окружности в треугольнике ABC
Задача
Точки O1 и O2 – центры описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника ABC (AB = BC). Описанные окружности треугольников ABC и O1O2A, пересекаются в точках A и D. Докажите, что прямая BD касается описанной окружности треугольника O1O2A.
Решение
Пусть BM – высота треугольника ABC, ∠A = ∠C = 2α. Тогда ∠BAO1 = ∠ABO1 = 90° – 2α, ∠AO2O1 = 90° + α. Так как четырёхугольник ADOO11OO12 – вписанный, то ∠ ADO1 = 180° – ∠AO2O1 = 90° – α.
Треугольник AO1D – равнобедренный, поэтому ∠DAO1 = 2α.
Кроме того, ∠ABD = ½ ∠AO1D = α.
Значит, ∠BDO1 = ∠DBO1 = ∠ABD + ∠ABO1 = α + (90° – 2α) = 90° – α.
Таким образом, ∠BDO1 = ∠DAO1, то есть BD – касательная к указанной окружности.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь