Назад

Олимпиадная задача по планиметрии о сумме углов треугольника, Терешин Д. А.

Задача 208195 • Сложность: 5 • 8-11 класс
Задача

Точки A2, B2и C2– середины высот AA1, BB1и CC1остроугольного треугольника ABC . Найдите сумму углов B2A1C2, C2B1A2и A2C1B2.

Решение

Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC , M – середина стороны AB . Поскольку MB2и MA2– средние линии прямоугольных треугольников AB1B и AA1B , то

MB2H = AB1B= 90o, MA2H = BA1A= 90o,

поэтому из точек B2, A2и C1отрезок MH виден под прямым углом. Значит, эти точки лежат на окружности с диаметром MH . Черырёхугольник A2C1B2H – вписанный, поэтому

A2C1B2 = 180o- A2HB2 = 180o- A1HB1 = ACB.

Аналогично докажем, что

B2A1C2 = BAC, C2B1A2 = ABC.

Следовательно,

A2C1B2+ B2A1C2+ C2B1A2= ACB + BAC + ABC = 180o.

Ответ

180o .

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет