Назад

Олимпиадная задача по планиметрии о треугольнике ABC и точках O, K, B, L

Задача 208215 • Сложность: 3 • 8-9 класс
Задача

В равнобедренном треугольнике ABC ( AB=BC ) точка O – центр описанной окружности. Точка M лежит на отрезке BO , точка M' симметрична M оносительно середины AB . Точка K – точка пересечения M'O и AB . Точка L на стороне BC такова, что CLO = BLM . Докажите, что точки O , K , B , L лежат на одной окружности.

Решение
Пусть P – точка, симметричная точке O относительно прямой BC . Тогда

PLC = CLO = BLM,

поэтому точка L лежит на отрезке MP .

Пусть M'' – точка, симметричная точке M' относительно прямой BO . Тогда точка M'' симметрична точке M относительно середины Q стороны BC . Диагонали MM'' и OP четырёхугольника MPM''O делятся точкой пересечения Q пополам. Значит, MPM''O – параллелограмм, поэтому OM'' || MP .

Если K' – точка, симметричная точке K относительно прямой BO , то K' лежит на отрезке OM'' . Тогда

BKO = BK'O = PLK'= BLM = OLC.

Значит,

BLO = 180o - OLC = 180o - BKO,

т.е. сумма противоположных углов BKO и BLO четырёхугольника OKBL равна180o . Следовательно, этот четырёхугольник – вписанный, т.е. точки O , K , B , L лежат на одной окружности.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет