Олимпиадная задача по планиметрии: равенство центров треугольника (8-9 класс)
Задача
Пусть O, I, M и H – соответственно центры описанной, вписанной окружности, точка пересечения медиан и точка пересечения высот треугольника ABC. Докажите, что если какие-то две из этих точек совпадают, то этот треугольник равносторонний.
Решение
1) Пусть совпадают точки O и M. Тогда каждый из трёх равных отрезков OA, OB и OC равен ⅔ соответствующей медианы. Значит, три медианы треугольника равны. Следовательно, этот треугольник равносторонний.
2) Пусть совпадают точки M и I. Тогда, например, медиана и биссектриса треугольника ABC, проведённые из вершины A, совпадают, поэтому AB = AC. Остальное аналогично.
3) Пусть совпадают точки O и H. Тогда, например, высота и медиана треугольника ABC, проведённые из вершины A, совпадают, поэтому AB = AC. Остальное аналогично.
Аналогично рассматриваются остальные три случая.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь