Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса: формула площади треугольника через радиус описанной окружности
Задача
Докажите, что площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на учетверённый радиус окружности, описанной около треугольника, т.е.
S$\scriptstyle \Delta$ = $\displaystyle {\frac{abc}{4R}}$,
гдеa,b,c— стороны треугольника,R— радиус его описанной окружности.
Решение
Пусть $\gamma$ — угол треугольника, противолежащей стороне, равной c, a и b — остальные стороны треугольника, а R — радиус окружности, описанной около треугольника. Тогда
sin$\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\frac{c}{2R}}$.
Следовательно,
S$\scriptstyle \Delta$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ab sin$\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ab . $\displaystyle {\frac{c}{2R}}$ = $\displaystyle {\frac{abc}{4R}}$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет