Олимпиадная задача Шарыгина: биссектриса в четырёхугольнике ABMC, планиметрия, 8-9 класс

Пусть B' образ вершины B при симметрии относительно прямой AM . Поскольку AB'=AB и BAM = 30^o , то ABB' – равносторонний треугольник. Поэтому ABB' = 60^o .

Поскольку BA=BB'=BC , точки A , B' и C лежат на окружности с центром B . Вписанный в эту окружность угол ACB' равен половине соответствующего центрального угла ABB' , т.е.

ACB' = ABB' = 30^o,

а т.к. ACM = 150^o , то точка B' лежит на прямой CM . Луч MB' (а значит, и луч MC ) симметричен лучу MB относительно прямой AM . Следовательно, MA – биссектриса угла BMC . Опишем окружность около треугольника ACM . Пусть O – её центр. Поскольку ACM = 150^o , то дуга AM этой окружности, не содержащая точки C , равна300^o . Поэтому дуга ACM равна60^o . Значит, AOM = 60^o и треугольник AOM – равносторонний.

Поскольку OAM = 60^o , а BAM = 30^o , то AB – биссектриса угла OAM . Тогда треугольники AOB и AMB равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AOB = AMB .

Треугольники AOB и COB равны по трём сторонам, поэтому AOB= COB . Значит,

AMB = AOB = AOC.

С другой стороны, поскольку AOC – центральный угол, а AMC – вписанный, то AMC = AOC . Следовательно, AMC = AMB , т.е. MA – биссектриса угла BMC .

Ответ задачи отсутствует