Олимпиадная задача по планиметрии Маркелова С. В. для 8-9 классов: равенство касательных и точка пересечения диагоналей

  Пусть r₁ – радиус окружности ω₁ с центром O₁, r₂ – радиус окружности ω₂ с центром O₂. Если P – точка пересечения общей внутренней касательной к окружностям с прямой O₁O₂, то  PO₁ : PO₂ = r₁ : r₂.

  Пусть прямые, проходящие через точку X, касаются окружности ω₁ в точках A и D, а окружности ω₂ – в точках C и B, причём диагонали AC и O₁O₂ четырёхугольника AO₁CO₂ пересекаются в точке S (см.рисунок). По теореме синусов  SO₁ : sin∠O₁AS = r₁ : sin∠O₁SA,   SO₂ : sin∠O₂SC = r₂ : sin∠O₂CS.    (1)

  ТочкиA, B, CиDлежат на окружности с центромX, а прямыеAO₁иCO₂– касательные к этой окружности. На дугеABэтой окружности, не содержащей точку С, отметим точкуM. По теореме об угле между касательной и хордой уголO₁ASравен половине дугиADC, а уголO₂CS– половине дугиAMC. Значит,  ∠O₁AS+ ∠O₂CS= 180°, то есть  sin∠O₁AS= sin∠O₂CS.   Кроме того, углыO₁SAиO₂SCравны как вертикальные. Теперь из равенств (1) следует, что  SO₁:SO₂=r₁:r₂.   Поскольку существует единственная точка, делящая отрезок в данном отношении, точкиPиSсовпадают.   Аналогичные рассуждения верны и для диагоналиBD. Таким образом, две диагонали четырёхугольника и две общие внутренние касательные пересекают линию центров в одной и той же точке.

Ответ задачи отсутствует