Олимпиадная задача по стереометрии: расстояние от точки до плоскости для 8

Олимпиадная задача по стереометрии для 8–9 классов: расстояние от точки до плоскости

Задача

Точки A и B лежат в плоскости α , M – такая точка в пространстве, для которой AM = 2, BM = 5и ортогональная проекция на плоскость α отрезка BM в три раза больше ортогональной проекции на эту плоскость отрезка AM . Найдите расстояние от точки M до плоскости α .

Решение

Пусть M1– основание перпендикуляра, опущенного из точки M на плоскость α . Тогда AM1и BM1– ортогональные проекции отрезков соответственно AM и BM на эту плоскость, длина отрезка MM1– расстояние от точки M до плоскости α , а треугольники AMM1и BMM1– прямоугольные. Обозначим AM1 = x . Тогда по условию задачи BM1 = 3x . По теореме Пифагора