Олимпиадная задача: Свойства магического квадрата 3×3 — доказательство формул (Грибалко А. В.)

Решение 1:   а) Прибавив к обеим частям  b + d + f + h,  получим очевидное равенство

  б) 1) Пусть S – сумма чисел в строке. Тогда  a + i = c + g = b + h = d + f = S – e.  Подставив в равенство из п. а), получим  4(S – e) = 2(S – e) + 4e,  откуда  2S = 6e,  то есть  S = 3e.

  2) Докажем сначала равенство   2(a² + c² + g² + i²) = b² + d² + f² + h² + 4e².   Для этого запишем его в виде

  Суммы квадратов в левой и правой частях равны, поскольку  a + c = S – b = h + e,  и т.д.   Кроме того,  ac + ci + ag + gi= (a + i)(c + g) = (S – e)² = 2e(S – e) =e(b + d + f + h).   3) Заметим, что равенство п. б) остается верным при увеличении всех чисел таблицы на одно и то же число. Действительно,       2((a + t)³ + (c + t)³ + (g + t)³ + (i + t)³) = 2(a³ +c³ +g³ +i³) + 6t(a² +c² +g² +i²) + 6t²(a + c + g + i) + 8t³ =         =b³ +d³ +f³ +h³ + 4e³ + 3t(b² +d² +f² +h² + 4e²) + 3t²(b + d + f + h+ 4e) + 8t³ = (b + t)² + (d + t)² +(f + t)² + (h + t)² + 4(e + t)².   Поэтому достаточно доказать равенство для случая, когда  e= 0.  Но в этом случае равенство очевидно, поскольку a + i = c + g = a + c = g + i = b + h = d + f= 2e= 0,  и обе части равенства равны нулю.

Решение 2:   Сложив четыре суммы: по средней строке, среднему столбцу и диагоналям, мы получим сумму всех чисел таблицы плюс утроенное число в центральной клетке:  4S = 3S + 3e,  то есть  S = 3e.

  Поскольку  a + i = c + g = S – e = 2e,  обозначим   a = e + u,  i = e – u,  c = e + v,  g = e – v.

  Последовательно находим   b = S – (a + c) = e – u – v,  h = S – (g + i) = e + u + v,  d = S – (a + g) = e – u + v,  f = e + u – v.

  Теперь равенство из п. а) очевидно. Для проверки равенства п. б) мы будем многократно использовать очевидное соотношение

(x + y)³ + (x – y)³ = 2x³ + 6xy².  Имеем:

    2(a³ + c³ + g³ + i³) = 2((e + u)³ + (e – u)³ + (e + v)³ + (e – v)³) = 8e³ + 12e(u² + v²),

    b³ + d³ + f³ + h³ + 4e³ = (e – u – v)³ + (e + v – u)³ + (e + u – v)³ + (e + u + v)³ + 4e³ = 2e³ + 6e(u + v)² + 2e³ + 6e(u – v)² + 4e³ = 8e³ + 12e(u² + v²).

Ответ задачи отсутствует