Олимпиадная задача по планиметрии: вписанная окружность и углы пятиугольника для 8–9 классов

Пусть O – центр окружности, вписанной в пятиугольник (см. рис. 9.6).

Проведем перпендикуляры OK , OL , OM , ON и OT к сторонам AB , BC , CD , DE и EA соответственно. Так как проведенные отрезки являются радиусами окружности, то четырехугольники AKOT , KBLO и OMDN – равные квадраты. Дальнейшее рассуждение можно провести двумя способами. Первый способ.Диагонали OA , OB и OD рассмотренных квадратов равны, поэтому O – центр окружности, описанной около треугольника ADB . Следовательно, ADB= AOB=45^o. Второй способ.Сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника равна180^o· 3=540^o . Следовательно, AED+ BCD=540^o - 270^o = 270^o. Из равенства сторон рассмотренных квадратов и свойства отрезков касательных (см. рис. 9.6) получим, что AE=ED и BC=CD . Следовательно, треугольники AED и BCD – равнобедренные. Тогда EDA= и CDB= . Следовательно, EDA+ CDB=180^o-=45^o . Таким образом, ADB=45^o.

45^o.