Олимпиадная задача по планиметрии для 9–11 классов от Филимонова В.П.

Пусть A и C – окружности, описанные около треугольников AHC' и CHA' соответственно. Так как точки B и H симметричны относительно средней линии A'C' треугольника ABC , то C'H=C'B=C'A ; A'H=A'B=A'C , т.е. треугольники AHC' и CHA' равнобедренные. Поэтому A'C' ( || AC ) – общая касательная к окружностям A и C .

Пусть S – точка пересечения прямых HM и A'C' , тогда SC'²=SM· SH=SA'² , т.е. S – середина A'C' и CBB'= CBS . Пусть _B – окружность, описанная вокруг треугольника BA'C' . Покажем, что точка M лежит на этой окружности. Действительно, если α , β , γ – углы треугольника ABC , то C'MA'= 2π - C'MH- A'MH=2π-(π-α)-(π-γ)= α+γ= π-β . Пусть l – серединный перпендикуляр к A'C' . Окружность _B симметрична относительно l . Так как HSC'= BSC'= A'SB' , отрезки SH и SB' симметричны относительно l . Значит, точка N , симметричная точке M относительно l , лежит на _B и на BB' , а дуги C'M и NA' равны. Вписанные углы C'BM и A'BN опираются на эти дуги, т.е. равны. Итак, ABM= C'BM= A'BN= CBB' .

Ответ задачи отсутствует