Олимпиадная задача по планиметрии 8-10 класс: точки P на одной прямой (Заславский А. А.)
Задача
Треугольник ABC вписан в
окружность с центром в O . X "– произвольная точка внутри
треугольника ABC , такая, что 
XAB= XBC=ϕ , а P – такая точка, что PX
OX , XOP=ϕ , причем углы XOP и XAB одинаково
ориентированы. Докажите, что
все такие точки P лежат на одной прямой.
Решение
Так как XAB= XBC , то все
точки X лежат на одной окружности, проходящей через точки A и B .
Опустим на прямую BP перпендикуляр OY . Из перпендикулярности PX и OX получаем, что точки Y , O , P , X лежат на одной
окружности. Отсюда получаем равенства ориентированных углов BYX=
PYX= POX= BAX . Значит, точка Y лежит на окружности. Поэтому все точки P лежат на прямой, проходящей через
точку B и точку пересеченияс окружностью, построенной
на OB как на диаметре.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь