Олимпиадная задача по планиметрии: прямоугольники равной площади (8-10 класс)

  Пусть даны два прямоугольника равной площади: A₁B₁C₁D₁ со сторонами a₁ и b₁ и A₂B₂C₂D₂ со сторонами a₂ и b₂. Без ограничения общности будем считать, что  a₁ < b₂  и  a₂ < b₁  (если  a₁ = b₂,  то в силу равенства площадей и  a₂ = b₁,  в этом случае утверждение очевидно). Расположим прямоугольники так, как показано на рисунке, и докажем, что это расположение удовлетворяет условию задачи.

= ,  следовательно,  h₁ = h₂  и  A₁A₂ || C₁C₂.  Из этого вытекает, что четырёхугольники A₁E₁C₁C₂ и A₂E₂C₂C₁ – параллелограммы (значит,

A₁E₁ = A₂E₂),  и площади их равны. Тогда, в силу равенства площадей прямоугольников, равны и площади треугольников A₁B₁E₁ и A₂B₂E₂, а так как

A₁E₁ = A₂E₂,  то равны их высоты. Поэтому  B₁B₂ || A₁A₂.  Следовательно, Следовательно, A₁E₂B₂B₁ – параллелограмм, и треугольники A₁B₁E₁ и E₂B₂A₂ равны по катету и гипотенузе. Из этого следует, что любая горизонтальная прямая, пересекающая эти треугольники, пересекает их по равным отрезкам. Если же горизонтальная прямая пересекает параллелограммы A₁E₁C₁C₂ и A₂E₂C₂C₁ или совпадающие треугольники C₁D₂C₂ и C₁D₁C₂, то равенство соответствующих отрезков очевидно.

Верно.