Олимпиадная задача по стереометрии для 10-11 класса о высотах тетраэдра

Пусть AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ – высоты тетраэдра ABCD, H – точка их пересечения, A₂, B₂, C₂ – точки, делящие высоты в отношении  2 : 1,  считая от соответствующих вершин, M – точка пересечения медиан AA₃, BB₃, CC₃ треугольника ABC. Докажем, что точки M, A₂, B₂, C₂, D₁ и H лежат на сфере с диаметром MH. Из подобия треугольников MAA₂ и A₃AA₁  (AM : AA₃ = AA₂ : AA₁ = 2 : 3)  следует, что  MA₂ || A₃A₁,  то есть  MA₂ ⊥ AA₁,  так как AA₁ – высота тетраэдра и, значит,  AA₁ ⊥ A₃A₁.  Аналогично  MB₂ ⊥ BB₁  и  MC₂ ⊥ CC₁.  Наконец,  DD₁ – высота тетраэдра, поэтому  MD₁ ⊥ DD₁.

Ответ задачи отсутствует