Олимпиадная задача Мусина: знаки в последовательностях и многочлены (10-11 класс)
Задача
Докажите, что если числа a1, a2, ..., am отличны от нуля и для любого целого k = 0, 1, ..., n (n < m – 1) выполняется равенство:
a1 + a2·2k + a3·3k + ... + ammk = 0, то в последовательности a1, a2, ..., am есть по крайней мере n + 1 пара соседних чисел, имеющих разные знаки.
Решение
Пусть P(x) – произвольный многочлен степени не выше n. Тогда из условия следует, что a1P(1) + a2P(2) + ... + amP(m) = 0. (*)
Предположим, что последовательность a1, a2, ..., am имеет ровно k ≤ n пар соседних чисел, имеющих противоположные знаки, и i1, i2, ..., ik – индексы первых элементов в этих парах (1 ≤ i1 < i2 < ... < ik < m). Возьмём P(x) = (x – i1 – ½)(x – i2 – ½)...(x – ik – ½). Тогда в последовательностях a1, a2, ..., am и P(1), P(2), ..., P(m) перемены знака происходят в одних и тех же местах. Таким образом, слева в равенстве (*) стоит сумма m чисел одного знака. Противоречие.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь