Олимпиадная задача: квадратичные трёхчлены с целыми и без действительных корней, Евдокимов М. А.

Пусть  – m ≤ – n  – целые корни трёхчлена  x² + px + q. Тогда  m + n = p,  mn = q, следовательно,  m, n > 0,  0 < mn ≤ 1997,  n ≤ m ≤ 1997.  Рассмотрим трёхчлен  x² + nx + mn.  Его коэффициенты – целые числа от 1 до 1997, и оно не имеет корней, так как  D = n² – 4mn = n(n – 4m) < 0.  Итак, каждому трёхчлену с целыми корнями мы поставили в соответствие трёхчлен, не имеющий корней; при этом разным трёхчленам сопоставлены разные. Кроме того, трёхчлены вида  x² + px + q,  где p чётно, q нечётно и  D < 0,  не представимы в виде  x² + nx + mn.  Значит, трёхчленов, не имеющих корней, больше.

Больше трёхчленов, не имеющих корней.