Олимпиадная задача по математике: делимость совершенных чисел на 49 для 7-10 класса
Задача
Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.
Решение
Предположим, что совершенное число равно 7n, гдеnне кратно 7. Тогда все натуральные делители числа 7n(включая его самого) можно разбить на парыdи 7d, гдеdне делится на 7. Следовательно, сумма всех делителей числа 7n(она равна 14n) делится на 8. Отсюдаnкратно 4. Заметим, что числа7n/2,7n/4,n,n/2,n/4и 1 – различные делители числа 7n, а их сумма равна 7n+ 1 > 7n, откуда следует, что число 7nне может быть совершенным. Противоречие.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет