Олимпиадная задача по алгебраическим методам для 7-9 классов: фишки и доска

Заметим, что в конце никакие две разноцветные фишки не стоят ни в одной строке, ни в одном столбце. Действительно, если исходно чёрная фишка стояла в одном столбце с белой, то ее сняли в первый раз, а если после первого снятия белая фишка стоит в одной строке с чёрной, то её сняли во второй раз. Пусть в конце чёрные фишки стоят в a строках и b столбцах, тогда белые могут стоять не более чем в  2n – a  строках и  2n – b  столбцах. Но тогда чёрных фишек не более ab, а белых не более  (2n – a)(2n – b).  Поскольку  ab(2n – a)(2n – b) = a(2n – a)b(2n – b) ≤ n²·n² = n⁴,  то либо чёрных, либо белых фишек осталось не более n².

Ответ задачи отсутствует