Назад

Олимпиадная задача по многочленам и анализу для 9–11 классов от Терешина Д. А.

Задача 209741 • Сложность: 3 • 9-11 класс
Задача

Многочлен  P(x) = x³ + ax² + bx + c  имеет три различных действительных корня, а многочлен P(Q(x)), где  Q(x) = x² + x + 2001,  действительных корней не имеет. Докажите, что  P(2001) > 1/64.

Авторы:
Терешин Д. А.
Разделы:
Многочлены Методы математического анализа
Источники:
Олимпиады и турниры Всероссийская олимпиада по математике 2000-2001 Заключительный этап
Количество версий:
4
Решение

По условию  P(x) = (x – x1)(x – x2)(x – x3),  следовательно,  P(Q(x)) = (Q(x) –x1)(Q(x) –x2)(Q(x) –x3),  где  Q(x) –xi≠ 0, i= 1, 2, 3,  то есть Di= 1 – 4(2001 –xi) < 0.  Перемножив полученные неравенства  2001 –xi> ¼,  получаем  P(2001) = (2001 –x1)(2001 –x2)(2001 –x3) >1/64.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет