Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии для 7-9 классов
Задача
На плоскости отмечено 6 красных, 6 синих и 6 зеленых точек, причем никакие три из отмеченных точек не лежат на одной прямой. Докажите, что сумма площадей треугольников с вершинами одного цвета составляет не более четверти суммы площадей всех треугольников с отмеченными вершинами.
Решение
Рассмотрим три синих точки A , B , C и не синюю D .
Тогда SABC
SABD+SACD+SBCD .
Просуммируем это неравенство по всем таким четверкам. При этом каждый синий
треугольник считается 12 раз, а каждый сине-сине-несиний – 4 раза.
Таким образом, сумма площадей синих треугольников хотя бы в 3 раза меньше суммы
площадей сине-сине-несиних. Итого: сумма площадей синих треугольников составляет не более
четверти сумм площадей треугольников, хотя бы две вершины которых – синие.
Аналогичное неравенство получим для двух других цветов. Так как рассмотренные группы
не пересекаются, то и сумма площадей одноцветных треугольников составляет не более
четверти суммы площадей всех треугольников.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь