Олимпиадная задача по стереометрии: пересечения 12 параллелепипедов (10-11 класс, Акопян А. В.)
Задача
Можно ли расположить в пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов P1 , P2 , P12, ребра которых параллельны координатным осям Ox , Oy , Oz так, чтобы P2 пересекался (т.е. имел хотя бы одну общую точку) с каждым из оставшихся, кроме P1 и P3 , P3 пересекался с каждым из оставшихся, кроме P2 и P4 , и т.д., P12пересекался с каждым из оставшихся, кроме P11и P1 , P1 пересекался с каждым из оставшихся, кроме P12и P2 ? (Поверхность параллелепипеда принадлежит ему.)
Решение
Предположим, что это возможно. Заметим, что два из рассматриваемых параллелепипедов пересекаются тогда и только тогда, когда их проекции на все три оси координат пересекаются.
Рассмотрим 4 пары параллелепипедов: P1 и P2 , P4 и P5 , P7 и P8 , P10и P11.
Если взять параллелепипеды из разных пар, то они пересекаются, значит их проекции на любую ось пересекаются. Паре параллелепипедов из одной пары поставим в соответствие ось координат (одну из осей, если таковых несколько), на которую проекции этих параллелепипедов не пересекаются. Поскольку пар 4, а осей – 3, найдутся две пары (скажем, P1 и P2 , P4 и P5 ), которым сопоставлена одна и та же ось Ox.
Пусть отрезки S1 , S2 , S4 , S5 – проекции P1 , P2 , P4 , P5 соответственно на ось Ox (пусть Ai – левые концы отрезков Si , а Bi – правые). Известно, что отрезки в парах S1 и S2 , S4 и S5 не пересекаются, а в любых других парах – пересекаются.
Не ограничивая общности, можем считать, что A1<B1<A2<B2 и A4<B4<A5<B5 . Так как S1 пересекается с S5 , то A5<B1 . Но тогда B4<A2 , и отрезки S2 и S4 не пересекаются. Противоречие.
Ответ в соответствующей задаче для 10 параллелепипедов также отрицательный, а для 9 параллелепипедов – положительный.
Ответ
Нельзя.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь