Олимпиадная задача по теории чисел на минимальное число, не представимое в виде суммы степеней для 8–10 классов

        Предположим, что  11 = . . Не уменьшая общности, положим  a > b,  c > d.  Обозначим  m = a – b,  n = c – d,  k = b – d.  Получаем

11(2ⁿ – 1) = 2^k(2^m – 1).  Так как в левой части целое нечётное число, то  k = 0.  Заметим, что  n = 1  не подходит. Если же  m > n > 1,  то  2^m – 1  и  2ⁿ – 1  дают остаток 3 при делении на 4. Значит, левая и правая части дают соответственно остатки 1 и 3 при делении на 4. Противоречие.