Олимпиадная задача по многочленам с n различными корнями — максимум нулевых коэффициентов

  Оценка. Между любыми двумя корнями дифференцируемой функции есть корень её производной. Значит, многочлен P'(x) (степени  n – 1)  имеет  n – 1  различных действительных корней, то есть не имеет кратных корней. Продолжая, получим, что тем же свойством обладают все производные многочлена P. Из этого следует, что из любых двух идущих подряд коэффициентов многочлена P хотя бы один не равен нулю. Действительно, если равны нулю коэффициенты при x^k и x^k+1, то у производной P^(k) равны нулю свободный член и коэффициент при x. Но это значит, что 0 является кратным корнем P^(k), что не так.

  Разобьём коэффициенты многочлена на пары (оставив при чётном n старший коэффициент без пары). По доказанному число нулевых коэффициентов не превосходит числа пар, то есть  ⁿ/₂  при чётном и  ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂  при нечётном n.

  Примеры. Многочлены  (x² – 1)(x² – 2²)...(x² – k²)  степени  n = 2k  и  x(x² – 1)(x² – 2²)...(x² – k²)  степени  n = 2k + 1  показывают, что улучшить этот результат нельзя: у первого коэффициенты при всех нечётных степенях, а у второго – при всех чётных степенях равны нулю.

ⁿ/₂  при чётном n,  ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂  при нечётном n.