Олимпиадная задача по теории чисел и алгебре для 7–9 классов от Токарева С. И.

  Пусть ни одно из чисел p, q не делится на 3. Если остатки от деления p и q на 3 совпадают, то левая часть делится на 3, а правая – нет; если эти остатки не совпадают, то правая часть делится на 3, а левая – нет.

  Пусть  p = 3.  Из равенства  27 – q⁵ = (3 + q)² > 0  следует, что  q⁵ < 27.  Это невозможно.

  Пусть, наконец,  q = 3.  Тогда  p³ – 243 = (p + 3)²,   p(p² – p – 6) = 252.  Значит,  p – простой делитель числа 252, то есть 2, 3 или 7. Проверка оставляет только  p = 7.

p = 7,  q = 3.