Олимпиадная задача по теории чисел: расстановка чисел по кругу для 7-9 классов
Задача
Можно ли расставить по кругу числа 1, 2, ..., 60 в таком порядке, чтобы сумма каждых двух чисел, между которыми находится одно число, делилась на 2, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся два числа, делилась на 3, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся шесть чисел, делилась на 7?
Решение
Пусть нам удалось расставить числа требуемым образом. Возьмём число 7. По условию 7-е, 14-е, 21-е, 28-е, 35-е, 42-е, 49-е, 56-е от него по часовой стрелке числа кратны 7. Мы насчитали уже 9 различных чисел, кратных 7. Но среди чисел от 1 до 60 их всего восемь (7·1, ..., 7·8). Противоречие.
Ответ
Нельзя.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет