Олимпиадная задача Рубанова И. С. по многочленам: когда P(Q(x)) = Q(P(x)) не имеет действительных корней
Задача
Квадратные трёхчлены P(x) = x² + ax + b и Q(x) = x² + cx + d таковы, что уравнение P(Q(x)) = Q(P(x)) не имеет действительных корней.
Докажите, что b ≠ d .
Решение
Уравнение P(Q(x)) = Q(P(x)) имеет вид (x² + cx + d)² + a(x² + cx + d) + b = (x² + ax + b)² + c(x² + ax + b) + d ⇔ 2(c – a)x³ + lx² + mx + n = 0.
Поскольку полученное уравнение не имеет корней, то в левой части не может стоять многочлен третьей степени. Поэтому c = a. Если при этом ещё и
b = d, то P(x) = Q(x), и равенство P(Q(x)) = Q(P(x)) выполняется при всех x. Значит, b ≠ d.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет