Олимпиадная задача по планиметрии: Геометрическое место центров описанных окружностей для треугольника ABC (9-10 класс)

Первое решение.Пусть C₁ – точка, диаметрально противоположная C , C₂ – точка, симметричная C₁ относительно центра O второй окружности. Тогда, так как C₁P AC , а проекцией O на AC является середина отрезка PA , C₂A AC . Аналогично, C₂B AB . Значит, центром описанной около ABC окружности будет середина отрезка CC₂ . При этом CC₂ параллелен отрезку между центрами окружностей и вдвое его длиннее. Следовательно, искомым ГМТ будет окружность, полученная из той, на которой лежит точка C , переносом на вектор, определяемый центрами данных окружностей, без точек, соответствующих P и Q (рис.10.3).

Второе решение.Пусть O₁ и O₂ – центры исходных окружностей, а O – центр окружности ABC . Тогда проекции O₁ и O₂ на AC – середины отрезков CP и PA , поэтому проекция равна /2. Аналогично, его проекция на CB есть /2. Значит, проекции и на эти прямые совпадают, а значит, = . Тогда для каждой точки C точка O получается переносом на вектор , а значит, искомое ГМТ – окружность, полученная переносом первой окружности на этот вектор, кроме точек, соответствующих P и Q .

Ответ задачи отсутствует