Олимпиадная задача по планиметрии 10 класса про проекции и окружности, Заславский А. А.

  Рассмотрим случай, когда X лежит внутри четырёхугольника ABCD, остальные разбираются аналогично. Пусть K, L, M, N – проекции X на AB, BC, CD, DA; K', L', M', N' – точки, симметричные X относительно этих прямых. Так как K, L, M, N лежат на окружности, K', L', M', N' также лежат на окружности. Так как  BK' = BX = BL',  серединный перпендикуляр к отрезку K'L' проходит через B и является биссектрисой угла K'BL', то есть симметричен BX относительно биссектрисы угла B. Следовательно, четыре прямые, симметричные прямым, соединяющим X с вершинами четырёхугольника ABCD, относительно биссектрис соответствующих углов, пересекаются в одной точке X', являющейся центром описанной окружности четырёхугольника K'L'M'N'. При этом центром описанной окружности четырёхугольника KLMN будет середина отрезка XX', и значит, X' совпадает с Y.

  Так как четырёхугольникиXKBL, XLCM, XMDN, XNAKвписанные, ∠AXB+ ∠CXD= ∠KXA+ ∠KXB+ ∠CXM+DXM= ∠KNA+ ∠BLK+ ∠CLM+ ∠MND= (180° – ∠KLM) + (180° – ∠MNK) = 180°.  Отсюда следует, что прямыеXBиDXсимметричны относительно биссектрисы углаAXC. Аналогично прямыеYBиDYсимметричны относительно биссектрисы углаAYC. Кроме того, как уже было показано, совпадают биссектрисы угловBADиXAY, BCDиXCY. Таким образом, прямые, симметричныеBA, BX, BC, BY, относительно биссектрис соответствующих угловAXCY, пересекаются в точкеD. Отсюда, рассуждая аналогично началу решения, получаем утверждение задачи.

Ответ задачи отсутствует