Олимпиадная задача по планиметрии: ортоцентры и диагонали в четырехугольнике

Используем следующее утверждение.

Пусть KLMN – выпуклый четырехугольник; точки X , Y делят отрезки KL и NM в отношении α ; точки U , V делят в отрезки LM и KN в отношении β . Тогда точка пересечения отрезков XY и UV делит первый из них в отношении β , а второй в отношении α (рис.9.6)

Доказательство этого утверждения легко получить методом масс.

Пусть теперь A₁ , B₁ , C₁ , D₁ – центры тяжести треугольников BCD , CDA , DAB , ABC ; A₂ , B₂ , C₂ , D₂ – центры описанных около них окружностей. Четырехугольник A₁B₁C₁D₁ гомотетичен четырехугольнику ABCD относительно его центра тяжести с коэффициентом - . Следовательно, соответствующие диагонали этих четырехугольников делятся точками пересечения в одинаковых отношениях. Докажем, что в тех же отношениях делят друг друга диагонали четырехугольника A₂B₂C₂D₂ .

Пусть P – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD . Тогда

== .

Поскольку стороны и диагонали четырехугольника A₂B₂C₂D₂ перпендикулярны сторонам и диагоналям четырехугольника ABCD (например, точки A₂ , B₂ лежат на серединном перпендикуляре к CD ), в таком же отношении делится и диагональ A₂C₂ .

Пусть теперь P₁ , P₂ – точки пересечения диагоналей четырехугольников A₁B₁C₁D₁ , A₂B₂C₂D₂ ; P' – точка на отрезке A'C' , делящая его в отношении A₂P₂/P₂C₂ . Так как точки A₁ , C₁ лежат на отрезках A'A₂ , C'C₂ и делят их в отношении2:1, из сформулированного утверждения вытекает, что точка P₁ также делит отрезок P'P₂ в отношении2:1. Рассмотрев аналогичную точку на отрезке B'D' , получим тот же результат. Отсюда следует, что P' – точка пересечения диагоналей четырехугольника A'B'C'D' , причем диагонали делятся этой точкой в том же отношении, что и в четырехугольниках A₁B₁C₁D₁ , A₂B₂C₂D₂ и ABCD .

Ответ задачи отсутствует