Олимпиадная задача по стереометрии: высота параллелепипеда, середина ребра и перпендикулярные прямые

Рассмотрим сечение данного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки B1, D1и M (рис.1). Прямая A1C перпендикулярна этой плоскости, поскольку A1C MD1и A1C B1D1(т.к. A1C BD , а B1D1 || BD ).

Пусть K – центр параллелограмма A1B1C1D1. Плоскости B1MD1и ACC1A1пересекаются по прямой MK , значит, прямая A1C пересекает сечение B1MD1в некоторой точке Q , лежащей на отрезке MK , причём A1QD1 = 90^o , т.к. прямая D1Q лежит в плоскости B1MD1, перпендикулярной A1C .

Пусть O – точка пересечения диагоналей паралелограмма ACC1A1. Заметим, что MK – средняя линия треугольника AA1C , а т.к. A1O – медиана этого треугольника, то Q – общая середина отрезков A1C и MK . Значит,

A1Q=A1O = A1C = · 4a = a.

Из прямоугольного треугольника A1QD1находим, что

D1Q = = = = .

Заметим, что MD1B1 = 90^o , т.к. D1M BD , а B1D1 || BD . Значит, D1Q – медиана прямоугольного треугольника MD1K (рис.2), проведённая из вершины прямого угла. Поэтому MK=2D1Q = a , а т.к. D1K = B1D1 = BD = · 2a = a , то

D1M = = = 2a.

Пусть V1– объём тетраэдра A1B1D1M . Поскольку A1Q=a – высота тетраэдра, а его основание – прямоугольный треугольник B1D1M с катетами B1D1=D1M = 2a , то

V1 = · B1D1· D1M · A1Q = · · 2a· 2a · a = a3.

Поскольку площадь основания параллелепипеда вдвое больше площади основания A1B1D1тетраэдра, а высота параллелепипеда вдвое больше высоты тетраэдра, опущенной из вершины M , объём V параллелепипеда в 12 раз больше объёма тетраэдра, т.е.

V=12V1 = 12· a3 = 8a3.

Через вершину C1параллелограмма A1B1C1D1проведём прямую, параллельную диагонали B1D1. Пусть эта прямая пересекается с продолжением стороны A1D1в точке P . Тогда площадь параллелограмма A1B1C1D1равна площади треугольника A1C1P со сторонами C1P = B1D1 = 2a , A1C=3a и A1P = 2A1D1 = 2· a =3a . Пусть A1H – высота этого равнобедренного треугольника. Тогда

A1H = == 2a.

Поэтому

S_A1B1C1D1 = S_{Δ A}1C1P = C1P· A1H = · 2a· 2a = 2a2.

Пусть h – искомая высота параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Тогда

h = = = 2a.

2a .