Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса: точки K и M в треугольнике

  Пусть  ∠AKO = ∠AOK = ∠MOC = α,  ∠MKC = ∠MCK = ∠ACO = β  (рис. слева). Далее можно рассуждать по-разному.   Первый способ. В треугольниках KCA и OCM две пары соответственно равных углов, поэтому и третьи углы равны:  ∠CAK = ∠CMO = ∠AMC.  Заметим, что  ∠MKB = ∠CAK  и  ∠ACM = ∠KMB.  Значит, треугольники AMC и BKM равны по стороне и двум углам. Следовательно,  AM = KB.

  Второй способ. Лучи CA и CB симметричны относительно биссектрисы CK угла C. Значит, точка D, симметричная B относительно этой биссектрисы, лежит на луче CA (рис. справа).  ∠KAM = ∠KAO = 180° – 2α,  ∠DKA = ∠DKC – α = ∠BKC – α = 180° – 2α.  Следовательно,  DK || AM.  Значит, DKMA – параллелограмм и  BM = DK = AM.

Ответ задачи отсутствует