Олимпиадная задача Сергеева: верна ли египетская формула площади четырёхугольника?

Раскроем скобки в "египетской" формуле. Получим

S=(ac+ad+bc+bd).

С другой стороны, "разрезав" четырёхугольник на два треугольника по диагонали AC , и вычислив площади полученных треугольников, мы получим

S= (ab sin B +cd sin D).

А разрезав по другой диагонали, получаем

S= (ad sin A + bc sin C).

То есть

Приравняв этот результат и "египетский", получаем

(ac+ad+bc+bd) =(ab sin B +cd sin D + ad sin A + bc sin C)

Так как синус всегда не больше единицы, то равенство достигается только тогда, когда синусы всех четырех углов равны 1. Поскольку углы выпуклого четырёхугольника находятся между0^o и180^o , получаем: A= B= C= D=90^o , т. е. четырёхугольник является прямоугольником.

Заметим (это не входит в условие задачи), что и в том случае, когда четырёхугольник ABCD  — невыпуклый, его площадь будет меньше, чем площадь соответствующего выпуклого четырёхугольника ( A'BCD , у которого "невыпуклая часть" развёрнута наружу), и поэтомуS(A'BCD)<S(ABCD) (ac+ad+bc+bd). Таким образом, пользуясь своей формулой в случае, когда четырехугольник не является прямоугольником, египтяне всегда завышали значение площади (и для выпуклых и для невыпуклых четырехугольников). Комментарий. При решении этой задачи можно и не использовать понятие синуса. Действительно, рассмотрим треугольник, построенный на сторонах a и b . Пусть h — высота, опущенная на сторону a . Тогда h b , и площадь треугольника равна ah ab . Равенство выполнено в точности тогда, когда b=h , т. е. угол между сторонами a и b — прямой. Аналогичные соотношения верны для треугольников, построенных на других парах смежных сторон. Сложив их, получаем нужный результат.

Формула верна для прямоугольников и только для них.