Олимпиадная задача по планиметрии: площадь четырехугольника KMLN в восьмом-девятом классе
Задача
На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD взяты точки M и N так, что AM : MB = CN : ND. Отрезки AN и DM пересекаются в точке K, а отрезки BN и CM – в точке L. Докажите, что SKMLN = SADK + SBCL.
Решение
Пусть A1, M1 и B1 – проекции точек соответственно A, M и B на прямую CD, F – точка пересечения отрезков MM1 и BA1. Пусть
AM : AB = CN : CD = p : 1. Тогда MM1 = MF + FM1 = AA1·MB/AB + BB1·A1F/A1B = (1 – p)AA1 + pBB1. Поэтому
2SCMD = CD·MM1 = CD((1 – p)AA1 + pBB1) = (1 – p)CD·AA1 + pCD·BB1 = ND·AA1 + NC·BB1 = 2(SAND + SBNC).
Треугольник CLN – общая часть треугольников CMD и BCN, а треугольник DKN – общая часть треугольников CMD и ADN, поэтому
SKMLN = SCMD – SCLN – SDKN = (SAND + SBNC) – SCLN – SDKN = (SAND – SDKN) + (SBNC – SCLN) = SADK + SBCL.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь