Олимпиадная задача по планиметрии: Сумма площадей треугольников в шестиугольнике
Задача
Точка O, лежащая внутри правильного шестиугольника, соединена с вершинами. Возникшие при этом шесть треугольников раскрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих.
Решение
Пусть сторона правильного шестиугольника равна a. Прямые, содержащие стороны шестиугольника, принадлежащие красным треугольникам, задают равносторонний треугольник со стороной 3a. Обозначим его высоту через h, а площадь – через S.
Сумма расстояний от точки O до сторон этого треугольника равна h (см. задачу 155277). С другой стороны, это сумма высот, проведённых из общей вершины O красных треугольников, значит, сумма площадей красных треугольников равна S/3.
Аналогично сумма площадей синих треугольников равна S/3.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь