Олимпиадная задача по математике: неравенство для произведения чисел (Слободник С. Г.)

Решение 1:   Раскрыв в левой части скобки, получим сумму  1 + (a₁ + ... + a_n) + (a₁a₂ + ... + a_n–1a_n) + (a₁a₂a₃ + ... + a_n–2a_n–1a_n) + ... + a₁a₂...a_n.  Сумма чисел во второй скобке не превосходит  (a₁ + ... + a_n)²,  сумма в третьей скобке не превосходит  (a₁ + ... + a_n)³,  и так далее. Значит, всё произведение не превосходит  1 + ½ + ¼ + ⅛ + ... + ¹/_2ⁿ = 2 – ¹/_2ⁿ < 2.

Решение 2:   Индукцией по k докажем, что для всех k от 1 до n  (1 + a₁)...(1 + a_k) < 1 + 2(a₁ + ... + a_k).

  База:  1 + a₁ < 1 + 2a₁.

  Шаг индукции. Пусть  (1 + a₁)...(1 + a_k) < 1 + 2(a₁ + ... + a_k).  Тогда

(1 + a₁)...(1 + a_k)(1 + a_k+1) < (1 + 2(a₁ + ... + a_k))(1 + a_k+1) ≤ 1 + 2(a₁ + ... + a_k) + a_k+1(1 + 2·½) = 1 + 2(a₁ + ... + a_k + a_k+1).

Ответ задачи отсутствует