Олимпиадная задача: угол FMP в треугольнике с вписанной окружностью

Олимпиадная задача по планиметрии: угол FMP в треугольнике и вписанной окружности

Задача

Вписанная в треугольник ABC окружность ω касается сторонAB и AC в точках D и E соответственно. Пусть P – произвольная точка на большей дуге DE окружности ω, F – точка, симметричная точке A относительно прямой DP, M – середина отрезка DE. Докажите, что угол FMP – прямой.

Решение

Пусть G – точка, симметричная точке A относительно прямой EP. Из симметрии PF = PA = PG, а также FD = AD, GE = AE. Поскольку AD и AE – равные отрезки касательных, FD = GE. Далее, ∠(, ) (угол от вектора до вектора , отсчитываемый против часовой стрелки) равен

∠ADE = 2∠BDP = ∠DPE + 2∠DEP и аналогично ∠(, ) = ∠AED + 2∠CEP = ∠DPE + 2∠EDP. Значит,

∠(, ) = ∠(, ) + ∠(, ) = (∠DPE + 2∠EDP) + (∠DPE + 2∠DEP) = 2(∠DPE + ∠DEP + ∠EDP) = 360°, то есть векторы и сонаправлены и равны. Следовательно, FDGE – параллелограмм. Точка M – середина диагонали DE, значит, она также является серединой диагонали FG. Следовательно, PM – медиана (а значит, и высота) равнобедренного треугольника FPG.