Интересная последовательность: олимпиадная задача по математике для 9-10 классов

  Первые три члена a₁, a₂, a₃ образуют возрастающую геометрическую прогрессию и, значит, имеют вид a, aq, aq² для некоторого q > 1. Далее последовательность будем продолжать таким образом, чтобы третий член был средним арифметическим своих соседей, четвёртый – средним геометрическим своих соседей, пятый – средним арифметическим и так далее, чередуя. Легко видеть, что последовательность будет возрастающей.

  Докажем, что возникающая последовательность состоит из натуральных чисел. Так как третий член есть среднее арифметическое своих соседей, получаем a₄ = 2a₃ – a₂ = 2aq² – aq = aq(2q – 1).

  Ясно, что это число целое (как сумма целых чисел), а так как исходная последовательность была возрастающей – даже натуральное. Далее, так как a₄ – среднее геометрическое своих соседей,

  Так как числа a₁, a₂, a₃ целые, то и a₅ – тоже целое, а так как последовательность возрастает – даже натуральное.

  Три последних члена a₃, a₄, a₅ опять образуют геометрическую прогрессию. Поэтому, в силу доказанного выше, a₆ и a₇ снова окажутся натуральными, и при этом a₅, a₆, a₇ образуют геометрическую прогрессию. Продолжая, получим бесконечную последовательность натуральных чисел, в которой каждый чётный член есть среднее геометрическое своих соседей, а каждый нечётный (кроме самого первого) – среднее арифметическое.

  Осталось заметить, что, так как среднее арифметическое двух различных чисел не равно среднему геометрическому, то наша последовательность ни с какого места не становится ни арифметической, ни геометрической прогрессией.

Не может.