Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов: доказательство равенства отрезков
Задача
AL – биссектриса треугольника ABC, причём AL = LB. На луче AL отложен отрезок AK, равный CL. Докажите, что AK = CK.
Решение
Обозначим ∠CAL = ∠LAB = α. Тогда ∠ABL = ∠LAB = α.
Пусть серединный перпендикуляр к отрезку AC пересекает луч AL в точке K'. Тогда треугольник AK'C – равнобедренный, ∠ACK' = ∠CAK' = α,
AK' = CK'. Осталось доказать, что AK' = CL (тогда точка K' совпадает с точкой K).
Пусть точка K' лежит на отрезке AL. Тогда LK'C – внешний угол треугольника ACK', поэтому ∠LK'C = 2α = ∠CLA. Значит, треугольник LCK' равнобедренный и AK' = CK' = CL.
Если же точка K' лежит на луче AL вне треугольника ABC, то ∠CK'A = 180° – ∠K'AC – K'CA = 180° – 2α = ∠K'LC. Значит, треугольник LCK' равнобедренный, AK' = CK' = CL.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь