Олимпиадная задача по последовательностям 10–11 класс от Голованова А.С.: целая сумма членов

Положим b_k=a_k-k . Тогда

b_k+1 = b_k-1 + = b_k - = b_k (1 - ).

Отсюда очевидной индукцией по k получаем, что b_k>0(поскольку b₁>0). Кроме того, b_k+1= b_k - <b_k . Отсюда, в частности, следует, что b_k b₁ < 1. Заметим, что b₂=a₁+-2=(-)² . Выражение в скобках положительно и возрастает, когда a₁ пробегает интервал (1,2); тогда0=1+-2<b₂<2+-2= . Таким образом, b_k b₂< при k 2. Теперь, если a_k+a_j  — целое число, то b_k+b_j  — также целое. Значит, одно из чисел b_k , b_j (для определенности  b_k ) не меньше  ; тогда k=1, и b_j=1-b₁ . Но таких чисел  j не больше одного, так как последовательность (b_i)убывает. Из этого и следует утверждение задачи. Замечание.Можно показать, что количество пар с целой суммой будет конечным при любом a₁>1.

Ответ задачи отсутствует