Олимпиадная задача по алгебре: системы, неравенства, производные (10-11 класс, Косухин О. Н.)

  а) Домножим первое, второе и третье уравнения системы соответственно на y, z и x и сложив их, получим

     x² + y² + z² = x²y + y²z + z²x + p(xy + xz + yz) + q(x + y + z).

  С другой стороны, домножив первое уравнение исходной системы на z, второе – на x, а третье – на y и сложив, получим

     xy + xz + yz = x²z + y²x + z²y + p(xy + xz + yz) + q(x + y + z).

  Отсюда  x² + y² + z² – xy – xz – yz = x²y + y²z + z²x – x²z – y²x – z²y.

  Левая часть неотрицательна, а значит, неотрицательна и правая часть.   б)  x²y + y²z + z²x – x²z – y²x – z²y = x²(y – z) + x(z² – y²) + yz(y – z) = (y – z)(x² – xz – xy + yz) = (x – y)(x – z)(y – z),  поэтому доказываемое неравенство равносильно неравенству  (x – y)(x – z)(y – z) ≤ 0.

  Если среди чисел x, y и z найдутся хотя бы два равных, то неравенство обратится в верное равенство. Пусть все эти числа попарно различны. Без ограничения общности можно считать, что наименьшим из них является x. Докажем, что тогда  z < y.

  Рассмотрим функцию  f(t) = t²⁰¹⁰ + pt + q.  Её производная  f'(t) = 2010t²⁰⁰⁹ + p.  Следовательно, функция f(t) убывает при     и возрастает при  t > t₀.  Если  y ≤ t₀,  то  x < y ≤ t₀  и  y = f(x) > z = f(y).  Если же  z > y > t₀,  то  x = f(z) > z = f(y).  Противоречие.

Ответ задачи отсутствует