Олимпиадная задача по планиметрии: параллельные прямые в трапеции ABCD, 8–9 класс
Задача
Основания BC и AD трапеции ABCD равны a и b. Проведены четыре прямые, параллельные основаниям. Первая проходит через середины боковых сторон, вторая – через точку пересечения диагоналей трапеции, третья разбивает трапецию на две подобные, четвёртая – на две равновеликие. Найдите отрезки этих прямых, заключённые внутри трапеции, и расположите найденные величины по возрастанию.
Решение
Для определённости будем считать, что BC = a < b = AD. Пусть M и N – середины боковых сторон трапеции. Тогда MN – её средняя линия, следовательно, MN = ½ (BC + AD) = ½ (a + b). Пусть прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через точку O пересечения диагоналей и пересекает боковые стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Треугольник AOD
подобен треугольнику COB с коэффициентом AD/BC = b/a,  а треугольник AOP подобен треугольнику ACB с коэффициентом AO/AC = b/a+b, значит, OP = b/a+b·BC = ab/a+b. Аналогично OQ = ab/a+b. Следовательно, PQ = 2ab/a+b. Пусть прямая, параллельная основаниям, пересекает боковые стороны
AB и CD трапеции в точках E и F соответственно и при этом трапеция BEFC подобна трапеции EADF. Тогда BC : EF = EF : AD, значит, EF² = BC·AD = ab. Следовательно, 
Пусть прямая, параллельная основаниям, пересекает боковые стороны
AB и CD трапеции в точках G и H соответственно и при этом трапеции BGHC и AGHD равновелики.
Обозначим GH = x. Если прямые AB и CD пересекаются в точке T, то треугольник TGH подобен треугольнику TBC с коэффициентом GH/BC = x/a, треугольник TAD подобен треугольнику TBC с коэффициентом AD/BC = b/a.
Обозначим STBC = S. Тогда STGH = x/a·2S, STAD = b/a·2S, SBGHC = STGH – STBC = x/a·2S – S, SAGHD = STAD – STGH = b/a·2S – x/a·2S.
Из уравнения x/a·2S – S = b/a·2S – x/a·2S находим, что 
Из рисунка ясно, что самый близкий к меньшему основанию – отрезок PQ, затем EF, MN и GH.
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь