Олимпиадная задача по планиметрии для 8–11 класса: угол в треугольнике ABC
Задача
Пусть ABC – остроугольный треугольник, CC1 – его биссектриса, O – центр описанной окружности. Точка пересечения прямой OC1 с перпендикуляром, опущенным из вершины C на сторону AB, лежит на описанной окружности Ω треугольника AOB. Найдите угол C.
Решение
Пусть D – точка пересечения OC1 с указанным перпендикуляром (см. рис.). Так как D лежит на Ω и AO = OB, то ∠ADC1 = ∠BDC1. Значит,
AD : BD = AC1 : BC1 = AC : BC. С другой стороны, так как CD ⊥ AB, то AC² + BD² = AD² + BC². Из этих равенств следует, что AC = AD, то есть точка D симметрична C относительно AB. Значит, прямая CC1 пересекает серединный перпендикуляр к AB в точке, симметричной O. Поскольку точка пересечения биссектрисы и серединного перпендикуляра лежит на описанной окружности, получаем, что хорда AB делит перпендикулярный ей радиус пополам. Следовательно, опирающийся на эту дугу угол C равен 60°.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь