Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: пересечение перпендикуляров в треугольнике
Задача
Дан треугольник ABC. Из точек A1, B1 и C1, лежащих на прямых BC, AC и AB соответственно, восставлены перпендикуляры к этим прямым.
Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда C1A² – C1B² + A1B² – A1C² + B1C² – B1A² = 0.
Решение
Необходимость. Пусть указанные перпендикуляры пересекаются в точке M. По теореме Пифагора MA² – C1A² = MB² – C1B², MB² – A1B² = MC² – A1C²,
MC² – B1C² = MA² – B1A².
Сложив почленно эти равенства, получим, что C1A² – C1B² + A1B² – A1C² + B1C² – B1A² = 0. Достаточность. Пусть данное равенство выполнено, M – точка пересечения перпендикуляров к BC и AC. Тогда MB² – MC² = A1B² – A1C²,
MA² – MC² = B1A² – B1C².
Вычитая почленно эти равенства, получим, что MB²– MA² = A1B2 – A1C² + B1C² – B1A² = C1B² – C1A², а это и означает, что точка M лежит на перпендикуляре, восставленном к AB в точке C1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь