Олимпиадная задача по стереометрии: объемы и трапеции в пирамиде, 10-11 класс
Задача
В основании пирамиды объёма V лежит трапеция
с основаниями m и n . Плоскость отсекает от неё
пирамиду объёма U , а в сечении получается снова
трапеция с основаниями m1и n1. Докажите,
что 
=
.
Решение
Пусть S — вершина пирамиды SABCD , основание которой — трапеция ABCD с основаниями AD=m и BC=n , а секущая плоскость пересекает боковые рёбра SA , SB , SC и SD в точках A1, B1, C1и D1соответственно. Если прямые AB и CD пересекаются в точке T , то плоскости боковых граней ABS и CDS пересекаются по прямой ST , значит, прямые A1B1и C1D1пересекаются в точке, лежащей на прямой ST . Следовательно, в трапеции A1B1C1D1стороны A1D1и B1C1— основания, A1D1=m1и B1C1=n1. Пусть l — прямая пересечения плоскостей граней ASD и BSC . Тогда AD || l и A1D1 || l , значит, A1D1 || AD и B1C1 || BC . Пусть высоты пирамид SABCD и SA1B1C1D1соответственно равны h и h1, а плоскость, проведённая через вершину S перпендикулярно прямой AD , пересекает прямые AD , BC , A1D1и B1C1в точках E , F , E1и F1соответственно. Тогда EF и E1F1— высоты трапеций ABCD и A1B1C1D1, поэтому
=
=
.
=
.
Заметим, что высоты треугольников ESF и E1SF1соответствнно
равны h и h1, поэтому 
= 
. С другой стороны
=
·
= 
· 
=
· 
=,
=
. Что и требовалось доказать.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь