Олимпиадная задача по стереометрии: геометрическое место точек пересечения медиан

Пусть B и C — произвольные точки на рёбрах данного трёхгранного угла OABC , K — середина отрезка BC , M — точка пересечения медиан треугольника ABC . Тогда = . При гомотетии с центром A и коэффициентом точка K перейдёт в точку M , плоскость OBC — в плоскость α , проходящую через точку M параллельно грани OBC , а грань OBC — в пересечение плоскости α с данным трёхгранным углом. Следовательно, каждая такая точка M принадлежит этому пересечению. Пусть теперь M — произвольная точка построенного пересечения. При гомотетии с центром A и коэффициентом это пересечение перейдёт в грань, противоположную ребру OA , а точка M — в некоторую точку K , лежащую в этой грани. Известно, что для любой точки K , лежащей внутри угла, найдётся отрезок BC с концами на сторонах угла, для которого точка K будет серединой. При этом = . Следовательно, M — точка пересечения медиан треугольника ABC . Что и требовалось доказать.

Рассмотрим плоскость, параллельную грани OBC и отстоящую от неё на треть расстояния между точкой A и гранью OBC . Искомое ГМТ — часть этой плоскости, лежащая внутри данного трёхгранного угла.