Олимпиадная задача по планиметрии о прямоугольном треугольнике с точкой пересечения перпендикуляров

Решение 1:   Пусть  ∠IAC = α,  ∠IBC = β.  Очевидно,  α + β = 45°  и IA₀CB₀ – квадрат.  ∠PA₀C = ∠IAC = α  как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Аналогично  ∠PB₀C = β.  Из треугольника A₀B₀P находим, что  ∠A₀PB₀ = 180° – (α + 45°) – (β + 45°) = 45°.  Рассмотрим окружность Ω с центром C и радиусом CA₀. Вписанные углы, опирающиеся на дугу A₀B₀ этой окружности равны 45°, следовательно, точка P лежит на Ω. Поэтому

∠PCB₀ = 2∠PA₀B₀ = 2α + 90°,  а смежный угол составляет  90° – 2α = 90° – ∠CAB.  Это и значит, что  CP ⊥ AB.

Решение 2:   Рассмотрим центральную симметрию относительно центра квадрата IA₀CB₀. Треугольник перейдёт в равный треугольник A₁IB₁. Вписанная в него окружность имеет центр C и касается его сторон в точках A₀, B₀ и D, симметричной точке касания вписанной в треугольник ABC окружности с гипотенузой AB. Четырёхугольник A₁A₀CD, очевидно, дельтоид, поэтому его диагонали A₀D и A₁C перпендикулярны.

  Но  A₁C || AI,  следовательно, A₀D – перпендикуляр, опущенный из A₀ на прямую AI. Аналогично B₀D – перпендикуляр, опущенный из B₀ на прямую BI, то есть точка D совпадает с точкой P. Но  DC || IC₀,  а  IC₀ ⊥ AB,  что и требовалось.

Ответ задачи отсутствует