Олимпиадная задача по математике: доказательство встречи всех игроков в турнире

  Пронумеруем отдельно гуманитариев и отдельно математиков в порядке, определённом исходной очередью (в первой партии играют М₁ и Г₁). Заметим, что математики (гуманитарии) отдельно (считая того, кто за столом) всегда находятся в очереди в том же циклическом порядке: никто друг друга не обгоняет. Математик может сместиться в очереди относительно гуманитария, но только за столом: например, математик М может выйти к столу раньше гуманитария Г, а выйти из-за стола позже него.

  Разобьём все игры на циклы по  m + n − 2  игры. За время первого цикла из-за стола выйдут  m + n − 2  игрока, то есть все стоящие в очереди, кроме М_m и Г_n. Значит, они стоят за столом в начале второго цикла. По тем же соображениям в начале третьего цикла за столом стоят М_m–1 и Г_n–1, и т. д.: с каждым циклом номера играющих в его первой партии смещаются "по кругу" на 1. Поэтому каждый математик за m циклов выйдет из-за стола ровно  m − 1  раз, а за mn циклов –  n(m − 1)  раз.  Аналогично каждый гуманитарий за mn циклов выйдет из-за стола ровно  m(n − 1)  раз.

  Пусть, например,  m > n.  Тогда  n(m − 1) – m(n − 1) = m – n ≥ 1.  Рассмотрим произвольных математика М и гуманитария Г. Как показано выше, за 2mn циклов М выходил из-за стола по крайней мере на два раза больше, чем Г. Отсюда следует, что между какими двумя "выходами" М у Г выходов из-за стола не было. Допустим, Г ни разу не сыграл с М. Тогда Г между этими выходами М оставался в очереди. Но после первого выхода он был впереди М, а когда М снова дошёл до стола – позади него. Противоречие, так как Г не мог обогнать М в очереди.

Ответ задачи отсутствует