Существует ли прямоугольный треугольник с двумя перпендикулярными медианами? Олимпиадная задача по планиметрии

  Пусть в треугольнике ABC  ∠С = 90°,  BС = 2a,  AC = 2b,  CP и BK – медианы, M – их точка пересечения.   Первый способ. Как известно,  AP = CP.  Отрезки CM и BM перпендикулярны тогда и только тогда, когда  ∠PAC = ∠PCA = ∠KBC  (углы с взаимно перпендикулярными сторонами), то есть когда треугольники CKP и BCK подобны, что сводится к равенству  a : b = b : 2a  ⇔  b² = 2a².

  Таким образом, в прямоугольном треугольнике, катеты которого удовлетворяют соотношению     медианы CP и BK перпендикулярны.

LB² = LK² + BK²  или  9a² = (a² + b²) + (4a² + b²).  Отсюда снова получаем соотношение  

Существует.