Олимпиадная задача по стереометрии: пирамида и цилиндр, 10–11 класс, Кожевников П. А.

Пусть SABCD – данная пирамида (ABCD – единичный квадрат с центром O). Cразу заметим, что O удалена от всех вершин пирамиды на расстояние (рассмотрев точку S', симметричную S относительно O, пирамиду можно достроить до правильного октаэдра с вершинами A, B, C, D, S, S' и центром O). Пусть вершины пирамиды лежат на цилиндре радиуса R с осью l; w – круговое сечение цилиндра (w имеет радиус R), проходящее через S. Рассмотрим A', B', C', D' – точки на окружности w, являющиеся проекциями точек A, B, C, D на плоскость окружности w. Пусть AB не параллельна l, то есть A' ≠ B'. Так как , то , значит либо A' = D' и B' = C', либо A'B'C'D' – прямоугольник, вписанный в окружность w. Рассмотрим отдельно эти два случая.1) Если A' = D' и B' = C', то ребра AD и BC параллельны l, а значит A'B'S – сечение пирамиды, проведенное через S перпендикулярно AD (см. рис. а). Тогда A' и B' – середины ребер AD и BC, A'B' = AB = 1, O – середина A'B', SA' и SB' – высоты граней SAD, SBC, то есть . Находим . Наоборот, если описать вокруг серединного сечения SA'B' пирамиды окружность w и взять прямой круговой цилиндр с направляющей w, то AD и BC будут образующими цилиндра, то есть рассматриваемая выше конструкция возможна.

2) Если A'B'C'D' – прямоугольник, вписанный в окружность w, то его центр O' является проекцией O на плоскость w и является центром окружности w. Таким образом, O лежит на оси цилиндра l. Заметим, что все вершины пирамиды лежат на сфере с центром O и радиусом OS, которая пересекает цилиндр по паре окружностей w и w', симметричных относительно O (O не лежит в плоскости w). A и C симметричны относительно O, поэтому одна из вершин A и C лежит на окружности w. Aналогично, либо B, либо D лежит на w. B любом случае, w является описанной окружностью одного из правильных треугольников ABS, BCS, CDS, DAS (например, см. рис. б), поэтому ее радиус равен . Наоборот, в правильном октаэдре с вершинами A, B, C, D, S, S' окружности w и w', описанные около правильных треугольников ABS и CDS', лежат на описанной вокруг октаэдра сфере и симметричны относительно центра сферы O, поэтому w и w' принадлежат одному круговому цилиндру, то есть рассматриваемая во втором случае конструкция возможна.

.